pengertian Matriks

Matriks – Penjumlahan, Perkalian, Determinan, Invers

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

(Catatan: Untuk materi dasar tentang matriks, silakan buka di materi Matriks Dasar – Pengertian, Jenis, Transpose, dsb.)

Dua matriks atau lebih, dapat dijumlakan hanya jika memiliki ordo yang sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berposisi sama. Contoh:

Jika $\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$ ,

maka:

$A + B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1+3 & 4+6 \\ 2+4 & 5+7 \\ 3+5 & 6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 6 & 12 \\ 8 & 14 \end{pmatrix}$

Transformasi Geometri

Sama halnya dengan penjumlahan, pengurangan dapat dilakukan hanya jika dua matriks atau lebih, memiliki ordo yang sama. Pengurangan dilakukan terhadap elemen-elemen yang berposisi sama.

Contoh:

Jika $\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$ ,

maka:

$B - A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 3-1 & 6-4 \\ 4-2 & 7-5 \\ 5-3 & 8-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

Sifat dari penjumlahan dan pengurangan matriks:

A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A – B ≠ B – A

Perkalian Matriks

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah bilangan bulat atau dengan matriks lain. Kedua perkalian tersebut memiliki syarat-syarat masing-masing.

Perkalian Matriks dengan bilangan bulat

Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan bulat, maka hasil perkalian tersebut berupa matriks dengan elemen-elemennya yang merupakan hasil kali antara bilangan dan elemen-elemen matriks tersebut. Jika matriks A dikali dengan bilangan r, maka $r.A = (r.a_{ij})$ . Contoh:

Jika $\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ dan bilangan r = 2, maka:

$r.A = 2 . \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.1 & 2.4 \\ 2.2 & 2.5 \\ 2.3 & 2.6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 10 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}$

Perkalian matriks dengan bilangan bulat dikombinasikan dengan penjumlahan atau pengurangan matriks dapat dilakukan pada matriks dengan ordo sama. Berikut sifat-sifat perkaliannya:

r(A + B) = rA + rB
r(A – B) = rA – rB

Perkalian dua matriks

Perkalian antara dua matriks yaitu matriks A dan B, dapat dilakukan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian tersebut menghasilkan suatu matriks dengan jumlah baris sama dengan matriks A dan jumlah saman dengan matriks B, sehingga:

Elemen-elemen matriks $C_{(m \times s)}$ merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen-elemen baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matiks B. Berikut skemanya:

Misalkan matriks A memiliki ordo (3 x 4) dan matriks B memiliki ordo (4 x 2), maka matriks C memiliki ordo (3 x 2). Elemen C pada baris ke-2 dan kolom ke-2 atau a22 diperoleh dari jumlah hasil perkalian elemen-elemen baris ke-2 matriks A dan kolom ke 2 matriks B. Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

maka:

$A \cdot B = C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} a_{14}b_{41}) & (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} a_{14}b_{42}) \\ (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} a_{24}b_{41}) & (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} a_{24}b_{42}) \\ (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31} a_{34}b_{41}) & (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} a_{34}b_{42}) \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix}(2.1 + 1.3 + 4.2 + 3.1) & (2.3 + 1.2 + 4.5 + 3.4) \\ (2.1 + 5.3 + 1.2 + 2.1) & (2.3 + 5.2 + 1.5 + 2.4) \\ (1.1 + 3.3 + 2.2 + 2.1) & (1.3 + 3.2 + 2.5 + 2.4) \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} 16 & 40 \\ 21 & 29 \\ 16 & 27 \end{pmatrix}$

Perlu diingat sifat dari perkalian dua matriks bahwa:

A x B ≠ B x A

Sebagai pembuktian, diketahui $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ maka:

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 13 \\ 7 & 14 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 9 \\ 11 & 10 \end{pmatrix}$

Terbukti bahwa A x B ≠ B x A. Ada sifat-sifat lain dari perkalian matriks dengan bilangan atau dengan matriks lain, sebagai berikut:

k(AB) = (kA)B
ABC = (AB)C = A(BC)
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC

Determinan Matriks

Determinan dari suatu matriks A diberi notasi tanda kurung, sehingga penulisannya adalah |A|. Determinan hanya bisa dilakukan pada matriks persegi.

Determinan matriks ordo 2×2

Jika $A = \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}$ maka determinan A adalah:

$|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Determinan matriks ordo 3×3 (aturan Sarrus)

Jika $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ maka determinan A adalah:

= aei + bfg + cdg – ceg – afh – bdi

Determinan matriks memiliki sifat-sifat berikut:

1. Determinan A = Determinan AT

2. Tanda determinan berubah jika 2 baris/2 kolom yang berdekatan dalam matriks ditukar

3. Jika suatu baris atau kolom sebuah determinan matriks memiliki faktor p, maka p dapat dikeluarkan menjadi pengali.

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ (2.1) & (2.3) & (2.4) \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

4. Jika dua baris atau dua kolom merupakan saling berkelipatan, maka nilai determinannya adalah 0.

$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3[(1.2) - (2.1)] = 0$

5. Nilai determinan dari matriks segitiga atas atau bawah adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal saja.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix} = (1.6.2) = 12$

Invers Matriks

Suatu matriks A memiliki invers (kebalikan) jika ada matriks B yang dapat membentuk persamaan AB = BA = I, dengan I adalah matriks identitas. Invers dari suatu matriks berordo (2 x 2) seperti $A = \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}$ dapat dirumuskan sebagai:

$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

Invers matriks memiliki sifat-sifat berikut:

AA-1 = A-1A = I
(A-1)-1 = A
(AB)-1 = B-1A-1
Jika AX = B, maka X = A-1B
Jika XA = B, maka X = BA-1

Contoh Soal Matriks dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Suatu perkalian matriks $\begin{pmatrix} 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix}$ menghasilkan matriks nol. Tentukan nilai x yang memenuhui persamaan tersebut!

Pembahasan:

$\begin{pmatrix} 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} = 0$

$\begin{pmatrix}6 - 3x & -2 + x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} = 0$

$6 - 3x + (-2 + x)x = 0$

$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

$(x-2)(x-3)$

Maka nilai x yang memenuhi adalah x1 = 2 dan x2 = 3.

Contoh Soal 2

Jika matriks $\begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} x-1 & x-12 \\ -x & x+4 \end{pmatrix}$ saling invers, tentukan nilai x!

Pembahasan:

Diketahui bahwa kedua matriks tersebut saling invers, maka berlaku syarat AA-1 = A-1A = I.

Sehingga:

$\begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 & x-12 \\ -x & x+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 9(x-1) - 7x & 9(x-12) + 7(x+4) \\ 5(x-1) - 4x & 5(x-12) + 4(x+4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Sehingga pada elemen baris ke-1 kolom ke-1 memiliki persamaan:

9(x – 1) – 7x = 1

9x – 9 – 7x = 1

2x = 10

x = 5

pengertian Kepala Silinder (Cylinder Head)

Kepala Silinder (Cylinder Head) adalah komponen utama mesin yang diikatkan pada bagian atas blog silinder dan merupakan tempat dari ruang bakar, busi dan mekanisme katup (valve). Kepala silinder juga merupakan dudukan dari saluran masuk dan saluran buang. Kepala silinder ada yang dibuat dari besi tuang yang tahan terhadap temperatur dan tekanan tinggi selama mesin bekerja. Namun kebanyakan mobil sekarang banyak yang dibuat dari paduan alumunium, dengan bahan ini kepala silinder lebih baik dalam hal pendinginan. Dari sisi beratnya juga lebih ringan. Kepala Silinder Kepala silinder juga dilengkapi dengan mantel pendingin yang dialiri oleh air pendingin, tujuannya tentu untuk mendinginkan kepala silinder, katup-katup dan busi. Fungsi Kepala Silinder Seperti yang telah disinggung di atas bahwa kepala silinder dalam mesin kendaraan memiliki beberapa fungsi, yaitu : 1. Sebagai tempat mekanisme katup Jika kita bongkar kepala silinder m...

toko mini

Search This Blog

pengertian Matriks

Matriks – Penjumlahan, Perkalian, Determinan, Invers

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks dengan bilangan bulat

Perkalian dua matriks

Determinan Matriks

Determinan matriks ordo 2×2

Determinan matriks ordo 3×3 (aturan Sarrus)

Invers Matriks

Contoh Soal Matriks dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Contoh Soal 2

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Komponen Mekanisme Katup OHV dan OHC

pengertian Kepala Silinder (Cylinder Head)

Contoh Notice,Warning,Caution