Skip to main content

pengertian Matriks

Matriks – Penjumlahan, Perkalian, Determinan, Invers

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

(Catatan: Untuk materi dasar tentang matriks, silakan buka di materi Matriks Dasar – Pengertian, Jenis, Transpose, dsb.)
Dua matriks atau lebih, dapat dijumlakan hanya jika memiliki ordo yang sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berposisi sama. Contoh:
Jika \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix},
maka:
A + B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1+3 & 4+6 \\ 2+4 & 5+7 \\ 3+5 & 6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 6 & 12 \\ 8 & 14 \end{pmatrix}

Transformasi Geometri
Sama halnya dengan penjumlahan, pengurangan dapat dilakukan hanya jika dua matriks atau lebih, memiliki ordo yang sama. Pengurangan dilakukan terhadap elemen-elemen yang berposisi sama.
Contoh:
Jika \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix},
maka:
B - A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 3-1 & 6-4 \\ 4-2 & 7-5 \\ 5-3 & 8-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}
Sifat dari penjumlahan dan pengurangan matriks:
  • A + B = B + A
  • (A + B) + C = A + (B + C)
  • A – B ≠ B – A

Perkalian Matriks

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah bilangan bulat atau dengan matriks lain. Kedua perkalian tersebut memiliki syarat-syarat masing-masing.

Perkalian Matriks dengan bilangan bulat

Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan bulat, maka hasil perkalian tersebut berupa matriks dengan elemen-elemennya yang merupakan hasil kali antara bilangan dan elemen-elemen matriks tersebut. Jika matriks A dikali dengan bilangan r, maka r.A = (r.a_{ij}). Contoh:
Jika \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} dan bilangan r = 2, maka:
r.A = 2 . \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.1 & 2.4 \\ 2.2 & 2.5 \\ 2.3 & 2.6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 10 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}
Perkalian matriks dengan bilangan bulat dikombinasikan dengan penjumlahan atau pengurangan matriks dapat dilakukan pada matriks dengan ordo sama. Berikut sifat-sifat perkaliannya:
  • r(A + B) = rA + rB
  • r(A – B) = rA – rB

Perkalian dua matriks

Perkalian antara dua matriks yaitu matriks A dan B, dapat dilakukan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian tersebut menghasilkan suatu matriks dengan jumlah baris sama dengan matriks A dan jumlah saman dengan matriks B, sehingga:
perkalian matriks
Elemen-elemen matriks C_{(m \times s)} merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen-elemen baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matiks B. Berikut skemanya:
perkalian elemen matriks
Misalkan matriks A memiliki ordo (3 x 4) dan matriks B memiliki ordo (4 x 2), maka matriks C memiliki ordo (3 x 2). Elemen C pada baris ke-2 dan kolom ke-2 atau a22 diperoleh dari jumlah hasil perkalian elemen-elemen baris ke-2 matriks A dan kolom ke 2 matriks B. Contoh:
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}
maka:
A \cdot B = C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}
C = \begin{pmatrix} (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} a_{14}b_{41}) & (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} a_{14}b_{42}) \\ (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} a_{24}b_{41}) & (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} a_{24}b_{42}) \\ (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31} a_{34}b_{41}) & (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} a_{34}b_{42}) \end{pmatrix}
C = \begin{pmatrix}(2.1 + 1.3 + 4.2 + 3.1) & (2.3 + 1.2 + 4.5 + 3.4) \\ (2.1 + 5.3 + 1.2 + 2.1) & (2.3 + 5.2 + 1.5 + 2.4) \\ (1.1 + 3.3 + 2.2 + 2.1) & (1.3 + 3.2 + 2.5 + 2.4) \end{pmatrix}
C = \begin{pmatrix} 16 & 40 \\ 21 & 29 \\ 16 & 27 \end{pmatrix}
Perlu diingat sifat dari perkalian dua matriks bahwa:
A x B ≠ B x A
Sebagai pembuktian, diketahui A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} maka:
AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 13 \\ 7 & 14 \end{pmatrix}
BA = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 9 \\ 11 & 10 \end{pmatrix}
Terbukti bahwa A x B ≠ B x A. Ada sifat-sifat lain dari perkalian matriks dengan bilangan atau dengan matriks lain, sebagai berikut:
  • k(AB) = (kA)B
  • ABC = (AB)C = A(BC)
  • A(B + C) = AB + AC
  • (A + B)C = AC + BC

Determinan Matriks

Determinan dari suatu matriks A diberi notasi tanda kurung, sehingga penulisannya adalah |A|. Determinan hanya bisa dilakukan pada matriks persegi.

Determinan matriks ordo 2×2

Jika A = \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} maka determinan A adalah:
|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Determinan matriks ordo 3×3 (aturan Sarrus)

Jika A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} maka determinan A adalah:
determinan matriks
= aei + bfg + cdg – ceg – afh – bdi
Determinan matriks memiliki sifat-sifat berikut:
1. Determinan A = Determinan AT
2. Tanda determinan berubah jika 2 baris/2 kolom yang berdekatan dalam matriks ditukar
sifat sifat determinan matriks
3. Jika suatu baris atau kolom sebuah determinan matriks memiliki faktor p, maka p dapat dikeluarkan menjadi pengali.
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ (2.1) & (2.3) & (2.4) \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix}
4. Jika dua baris atau dua kolom merupakan saling berkelipatan, maka nilai determinannya adalah 0.
\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3[(1.2) - (2.1)] = 0
5. Nilai determinan dari matriks segitiga atas atau bawah adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal saja.
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix} = (1.6.2) = 12

Invers Matriks

Suatu matriks A memiliki invers (kebalikan) jika ada matriks B yang dapat membentuk persamaan AB = BA = I, dengan I adalah matriks identitas. Invers dari suatu matriks berordo (2 x 2) seperti A = \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} dapat dirumuskan sebagai:
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
Invers matriks memiliki sifat-sifat berikut:
  • AA-1 = A-1A = I
  • (A-1)-1 = A
  • (AB)-1 = B-1A-1
  • Jika AX = B, maka X = A-1B
  • Jika XA = B, maka X = BA-1

Contoh Soal Matriks dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Suatu perkalian matriks \begin{pmatrix} 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} menghasilkan matriks nol. Tentukan nilai x yang memenuhui persamaan tersebut!
Pembahasan:
\begin{pmatrix} 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} = 0
\begin{pmatrix}6 - 3x & -2 + x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} = 0
6 - 3x + (-2 + x)x = 0
x^2 - 2x - 3x + 6 = 0
x^2 - 5x + 6 = 0
(x-2)(x-3)
Maka nilai x yang memenuhi adalah x1 = 2 dan x2 = 3.

Contoh Soal 2

Jika matriks \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} dan \begin{pmatrix} x-1 & x-12 \\ -x & x+4 \end{pmatrix} saling invers, tentukan nilai x!
Pembahasan:
Diketahui bahwa kedua matriks tersebut saling invers, maka berlaku syarat AA-1 = A-1A = I.
Sehingga:
\begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 & x-12 \\ -x & x+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 9(x-1) - 7x & 9(x-12) + 7(x+4) \\ 5(x-1) - 4x & 5(x-12) + 4(x+4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
Sehingga pada elemen baris ke-1 kolom ke-1 memiliki persamaan:
9(x – 1) – 7x = 1
9x – 9 – 7x = 1
2x = 10
x = 5

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

pengertian sistem suspensi pada kendaraan

sistem suspensi pada kendaraan  berfungsi untuk menghubungkan bodi kendaraan dengan roda, kontruksinya dibuat sedemikian rupa agar dapat menyerap getaran, oskilasi dan kejutan sebagai akibat dari kondisi dan permukaan jalan yang tidak rata, sehingga diperoleh keamanan dan kenyamanan ketika berkendara. Sistem suspensi  juga berfungsi untuk memindahkan gaya pengereman dan gaya gerak ke body melalui gesekan antara jalan dengan roda-roda. Fungsi terakhir dari sistem suspensi adalah untuk menopang body pada axle dan memelihara letak geometris antara body dan roda-roda. Dengan adanya sistem suspensi, maka kendaraan akan lebih stabil baik ketika terjadi pengereman, belokan, sampai jalan yang bergelombang atau tidak rata. Suspensi juga akan membuat pengendara merasakan kenikmatan dan stabilitas ketika mengendarai.  Syarat-syarat Sistem Suspensi Dalam menjalankan fungsinya, suspensi harus dapat memiliki beberapa syarat yaitu : Mengantar gerakan roda. Memungkinkan...
Post a Comment
Read more

Komponen Mekanisme Katup OHV dan OHC

Komponen Mekanisme Katup OHV dan OHC + Fungsinya  - Mekanisme katup merupakan sebuah mekanisme yang mengatur buka tutup katup IN dan EX sesuai dengan siklus kerjanya. Seperti yang kita tahu bersama bahwa pada cara kerja motor 4 tak, katup IN akan membuka ketika langkah hisap untuk memasukkan campuran udara dan bahan bakar ke silinder. Dan katup EX akan membuka ketika langkah buang untuk membuang gas sisa-sisa pembakaran. Mekanisme yang mengatur buka tutup kedua katup ini disebut dengan  mekanisme katup , secara garis besar  mekanisme katup  ini terbagi menjadi dua macam yaitu OHV  (Over Head Valve)  dan OHC  (Over Head Camshaft) . Untuk jenis OHC masih dibagi lagi menjadi dua versi yaitu SOHC  (Single Over Head Camshaft)  dan DOHC  (Double Over Head Camshaft) . Sekilas Perbedaan Mekanisme Katup tipe OHV dan DOHC Mekanisme Katup Mekanisme katup tipe OHV  (Over Head Valve)  memiliki ciri khusus yaitu letak ...
Post a Comment
Read more

Menganalisis Karya Seni Rupa Murni

"Menganalisis Karya Seni Rupa Murni",    1. Pertama, yaitu Borobudur Pagi Hari Judul : Borobudur Pagi Hari Tahun : 1983 Ukuran : 150 cm x 200 cm Media : Cat Minyak “Borobudur Pagi Hari” merupakan salah satu karya Affandi yang terinspirasi oleh megahnya candi Borobudur dan lingkungan sekitar pada masa itu, saat Affandi melintas dan memperhatikan Borobudur di pagi hari. Obyek matahari selalu menarik perhatian di beberapa karya beliau sebagai fokus pendukung utama. Warna – warna dingin dan suasana tenang mendominasi lukisan ini karena melukiskan suasana pagi hari yang cerah . Dan dilukisan ini Affandy lebih nenonjolkan obyek alam sebagai latar belakang. Perpaduan warna yang digunakan semakin menghidupkan lukisan tersebut karena warna yang digunakan padu antara warna satu dengan warna yang lain. Dan dilukisan tersebut gambar candi Borobudur terlihat sangat jelas tanpa kita harus menganalisis makna lukisan tersebut. Dan bentuk mataharinya tidak menyerupai matahari tet...
Post a Comment
Read more